Tolerancije pogrešaka u polumjeru zakrivljenosti pojedinih zona zrcala dosta je teško odrediti. Gotovo svaki autor ima o tome svoje mišljenje, i u mnogim knjigama naići ćete na nepotpune ili potpuno krive upute. Već smo spomenuli čest slučaj kada se smatra da je dozvoljeno odstupanje postotak razlike polumjera pojedinih zona, što je potpuno krivo. Pored toga moramo shvatiti da pomoću maske određujemo srednje polumjere nekoliko zona na zrcalu, pri ćemu potpuno zanemarujemo male lokalne defekte a u velikoj mjeri i mogući astigmatizam plohe koji moramo posebno provjeriti. Moderni profesionalni uređaji, tzv. interferometri, mjere oblik plohe u nekoliko stotina do nekoliko tisuća točaka i uz pomoć jakih računala dolaze da pravog oblika plohe. No, mi si takav luksuz ne možemo priuštiti, pa se moramo zadovoljiti jednostavnijim postupcima.
U modernoj literaturi opisano je nekoliko dobrih postupaka računanja oblika plohe, koji se međusobno razlikuju po količini i težini potrebnih proračuna, no svi se odreda dadu savladati srednjoškolskom matematikom. Kako se pored toga svi ti postupci na ovaj ili način svode na postupak koji je opisao J. Texereau u svojoj knjizi "How to make a telescope" (engleski prijevod) najbolje je koristiti onaj koji je najjednostavniji. Originalni postupak traži naime dosta računanja (što danas nije problem jer se bilo kojim tabličnim kalkulatorom, npr. Excell-om, lako priredi potreban formular) ali je po meni dosta nesiguran jer daje grubu procjenu maksimalne pogreške valne fronte, kojoj onda po inerciji stvari previše počinjemo vjerovati. Bolja je stoga modernizirana varijanta tog postupka koju je opisao A. Millies-Lacroix u časopisu Sky and Telescope (Vol. 51, str. 127-129, 1976. god.) jer se potrebni računi bez problema mogu obaviti i najjednostavnijim kalkulatorom, a grafikon tolerancija i izmjerenih vrijednosti razlika polumjera zakrivljenosti koji se nakon toga crta mnogo je lakše razumjeti i koristiti. Slijedi dakle opis ovog modernijeg postupka, koji i ja uglavnom koristim.
Spomenuti postupak se zasniva na jednostavnoj ideji da će zrcalo biti dovoljno dobro ako sve zrake svjetla koje dolaze od udaljenog izvora (zvijezde!) nakon odbijanja na zrcalu prođu pokraj žarišta na udaljenosti manjoj od polumjera svijetlog ogibnog diska. Ovo je lako razumljivo, pa iako miješa gaometrijsku optiku (pravocrtno širenje svjetla) i ogibne efekte u žarištu (dakle valnu prirodu svjetla) srećom ne dovodi do većih problema u ocjeni potrebne kvalitete zrcala. Gore spomenuti autori pokazali su dugim i složenim računima, u koje ovdje nećemo ulaziti, da je ovaj zahtjev otprilike jednak Rayleight-ovom uvjetu da maksimalno odstupanje oblika odbijenog vala od sfernog ne smije biti veće od četvrtine valne duljine svjetla. Kako se kod odbijanja sve greške oblika plohe zrcala udvostruće, tolerancija za plohu zrcala je dva puta stroža! Oba zahtjeva pretpostavljaju da ploha nema naglih skokova (zona) u svom obliku, niti malih nepravilnosti (hrapavost i mikro-hrapavost, odnosno defekti veličine 1cm do 1mm koji, ako ih je mnogo, mogu poptuno upropastiti kontrast slike). No, kod ručnog poliranja ove nepravilnosti dosta se rijetko susreću, a ako ih ima ukazuju na vrlo velike pogreške u postupku poliranja (prejaki pritisak, forsirani i agresivni pokreti koji se ponavljaju, loša martica, jako tvrda smola i sl.). U slučaju da želimo zaista biti sigurni da je zrcalo savršeno, možemo slobodno ovu toleranciju još prepoloviti, no tada vrijeme utrošeno na korekcije gotovo nezamjetnih pogrešaka može postati jaaako dugačko. Upozoreni ste!
Jedini problem sa našom idejom je da mi ne radimo Foucaltov test u žarištu već u središtu zakrivljenosti zrcala. Povezati izmjerena odstupanja u središtu zakrivljenosti sa onima u žarištu zrcala nije sasvim jednostavno. U stvari, napravimo li Foucaltov test paraboličnog zrcala u žarištu (tzv. test na zvijezdama o kojem će bit rijeći kasnije) idealno parabolično zrcalo ponašat će se kao sferno zrcalo u središtu zakrivljenosti, dakle potamnit će jednoliko i brzo. Jedini problem ove metode je da trebamo vedru noć izuzetno mirne atmosfere, jer u suprotnom miješanje zraka u potpunosti onemogući testiranje. Samo zbog toga (i naravno potrebe da zrcalo već na neki način bude ugrađeno u teleskop) Foucalto-ovo testiranje na zvijezdama vrlo rijetko se radi. Vratimo se zato vezi između odstupanja polumjera zakrivljenosti izmjerenih u središtu zakrivljenosti zrcala i onih u žarištu zrcala. Za idealno parabolično zrcalo polumjer zone razlikuje sa od polumjera središta zrcala za
DR=h2/R
pri čemu pretpostavljamo da je izvor svjetla nepomičan (miče se samo stol sa nožem uređaja za testiranje). Imamo li uređaj kod kojeg se izvor pomiće zajedno sa nožem, moramo izračunate vrijednosti prepoloviti. No, kako to dosta zbunjuje, bolje je napraviti slijedeće: sve promjene polumjera zakrivljenosti i njihove tolerancije računamo kao da imamo uređaj sa nepomičnim izvorom. Kod mjerenja uređajem sa pomičnim izvorom jednostavno sve IZMJERENE razlike polumjera zakrivljensoti pomnožimo sa 2 i daljnji postupak radimo kao da imamo uređaj sa nepomičnim izvorom. Zato se sve formule koje slijede odnose se dakle na sa NEPOMIČNIM izvorom svjetla.
Prvo izračunamo polumjer ogibnog diska za naše zrcalo:
r=1,22lF/D
gdje je r polumjer ogibnog diska, l valna duljina svjetla (tu uzimamo valnu duljinu svjetla na koje je oko najosjetljivije a ona je oko 550 nm = 0,00055 mm), F je žarišna daljina našeg zrcala (F=R/2!) i d je promjer zrcala. Kod računa l, F i D moraju biti u istim jedinicama, najbolje u milimetrima. Presložimo li malo ovu formulu i uvrstimo 550 nm za valnu duljinu svjetla, dobijamo jednostavniji izraz
r (mm) = 0,00036R/D
gdje R i D moramo uvrstiti u milimetrima.
Tolerancija odstupanja razlike polumjera zakrivljenosti od idealne vrijednosti dana je sa
T = 2Rr/r
gdje je r polumjer zone za koju toleranciju računamo.
primjer: za zrcalo iz primjera sa prethodne stranice (R=1976 mm, D=120 mm) nalazimo:
r = 0,006 mm, 2Rr = 23,7 mm2
DR mininalni = DR-T
DR maksimalni = DR+T
|
zona |
rv mm |
r mm |
D R izračunatmm |
D R izmjerenmm |
D R izmjeren+ 0,1 mm |
toleran-cija T mm |
D R minmm |
D R maxmm |
|
1 |
30 |
15 |
0,1 |
0,0 |
0,1 |
1,6 |
-1,5 |
+1,7 |
|
2 |
42 |
36 |
0,7 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0 |
0,7 |
|
3 |
51 |
47 |
1,1 |
0,8 |
0,9 |
0,5 |
0,6 |
1,6 |
|
4 |
58 |
54 |
1,5 |
1,3 |
1,4 |
0,4 |
1,1 |
1,9 |
Sada crtamo tzv. grafikon tolerancija. Na x-os nanesemo polumjer zone a na y vrijednosti DR. Za svaku zonu ucrtamo gornju i donju vrijednost DR (gornja= DR+T, donja DR-T) i spojimo ih crtkanom linijom koju sasvim slobodno možemo povući rukom. Rub zrcala označimo vertikalnom crtom, pa na kraju za svaku zonu ucrtamo izmjerene vrijednosti DR i spojimo ih punom linijom. Za gornji primjer grafikon će izgledati ovako:
Primijetimo da se krivulje tolerancija vrlo brzo približavaju jedna drugoj kako idemo prema rubu zrcala. Kako se uz to i vrlo naglo penju, kod zrcala sa manjim F-brojem je ovakav grafikon dosta teško interpretirati. Zbog toga se često puta grafikon u kojem se za svaku zonu od izmjerene razlike DR odbije ona teoretski izračunata. Dakle, u grafikon se ucrtava vrijednost DR' = DRizmjereno-DRizračunato. Krivulje tolerancija sada su pretstavljene vrijednostima +T za gornju i - T za donju krivulju i leže simetrično oko x-osi.
U našem primjeru sve vrijednosti DR' nalaze se unutar krivulja tolerancije što nam govori da je zrcalo odlično. Primijetite još jednom kako su tolerancije rubnih zona vrlo stroge u usporedbi sa sredinom zrcala. Izađe li nam kod crtanja neka od točaka izvan krivulje tolerancije, možemo pokušati cijelu krivulju koja prikazuje naša mjerenja podići ili spustiti. To odgovorara dodavanju ili oduzimanju malog broja od svih izmjerenih vrijednosti i pretstavlja odgovarajuću promjenu polumjera zakrivljenosti prema kojem naša mjerenja radimo, kao što smo to već prije objasnili. Uspijemo li tako cijelu plohu smjestiti unutar krivulja tolerancije, sve je u najboljem redu i zrcalo je zadovoljavajuće kvalitete. S vremenom ćemo steći iskostvo u mjerenju i korigiranju obika plohe koje će nam cijeli ovaj postupak učinit lakim i samim po sebi razumljivim.